martes, 12 de mayo de 2009

Divisibilidad por 13

Divisibilidad por 13

Un número es divisible por 13 si multiplicando las unidades por 1, las decenas por -3, las centenas por -4, las unidades de millar por -1, las decenas de millar por 3, las centenas de millar por 4 y así sucesivamente, alternando los signos, y sumando los resultados el número resultante es divisible por 13
Vamos a demostrar el criterio de divisibilidad por 13.


(an10n + an-110n-1 + ...+ a110 + a0) mod 13 =
an10n mod 13 + an-110n-1 mod 13 + ...+ a110 mod 13 + a0 mod 13 =
an mod 13 10n mod 13 + an-1 mod 13 10n-1 mod 13 + ...+ a1 mod 13 10 mod 13 + a0 mod 13


100 mod 13 = 1
101 mod 13 = -3
102 mod 13 = -4
103 mod 13 = -1
104 mod 13 = 3
105 mod 13 = 4


Así, supongamos el número: 6874259642754. Según la teoría de las clases residuales mod 7 con sus operaciones, tendríamos que multiplicar la cifra de las unidades por 1, la de las decenas por 3, la de las centenas por 2, la de las unidades de mil por 6 (o por –1), la de las decenas de mil por 4 (o por –3), la de las centenas de mil, por 5 (o por –2), y así sucesivamente.

¿No resultaría práctico disponer el número dividido en grupos de tres cifras y considerar alternativamente positivas las cifras del primero, negativas las del segundo, positivas las del tercero, etc. Y así multiplicaríamos:
La suma algebraica de las unidades de cada grupo, por 1,

La suma algebraica de las decenas de cada grupo, por -3,
y la suma algebraica de las centenas de cada grupo, por -4? Esta suma módulo 13 sería el resto.
Losa restos potenciales de 13 son 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, -1, 3, 4 etc. Haciendo algo análogo tendríamos:

+6 ; - 874 ; + 259 ; - 642 ; + 754


4 – 2 + 9 – 4 + 6 = 13 que mod 13 sería 0 0 · 1 = 0

5 – 4 + 5 – 7 = -1 que mod 13 sería -1 -1 · (-3) = 3

7 – 6 + 2 – 8 = -5 que mod 13 sería -5 · (-4) = 20. Suma 23 mod 13 = 10 por lo que no es divisible por 13.

Esta es la razón por la que un número cualquiera de tres cifras como 649 ampliado por repetición de las mismas cifras 649649, siempre será divisible por 7, 11, y 13.

Lo mismo que un número de cuatro cifras 7538 ampliado por repetición de las mismas cifras, 75385387, siempre será divisible por 73 y por 137. Basta ver los restos potenciales de
73 (1, 10, 27,-22, -1, -10, -27, 22, …. ) y 137 (1, 10, -37, 41, -1, -10, 37, -41, ….)

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